Is-somma tal-angoli ta 'trijanglu. Il-teorema fuq is-somma ta 'angoli ta' trijanglu

It-triangolu huwa poligonu li jkollu tliet partijiet (tliet angoli). Ħafna drabi, il-parti murija b'ittri żgħar ittri kapitali, li jirrappreżentaw vertiċi opposti korrispondenti. F'dan l-artikolu aħna tagħti ħarsa lejn dawn it-tipi ta 'forom ġeometriċi, teorema, li jiddefinixxi dak li huwa ugwali għas-somma ta' angoli ta 'trijanglu.

Tipi akbar angoli

It-tipi li ġejjin ta 'polygon bi tliet vertiċi:

• angolat akuta, fejn angoli li jaqtgħu kollha;
• rettangolari li angolu rett wieħed, il-ġenb li jifforma dan huma msejħa l-saqajn u n-naħa li jiġi użat opposta għall-angolu rett huwa msejjaħ il-hypotenuse;
• ottużi meta wieħed angolu huwa obtuse ;
• iżòxxile, li żewġ naħat huma ugwali, u huma msejħa laterali, u t-tielet - triangolu b'bażi;
• ekwilaterali ikollu tliet naħat indaqs.

proprjetajiet

Jallokaw il-proprjetajiet bażiċi li huma karatteristiċi ta 'kull tip ta' trijangolu:

• faċċata n-naħa akbar huwa angolu dejjem akbar, u viċi-versa;
• huma angoli indaqs opposti il-parti ugwali l-akbar, u viċi versa;
• fi kwalunkwe trijangolu għandha żewġ angoli akuta;
• angolu ta 'barra akbar minn kull angolu intern mhux ħdejn għalihom;
• is-somma ta 'kwalunkwe żewġ angoli hija dejjem anqas minn 180 grad;
• angolu ta 'barra daqs is-somma taż-żewġ kantunieri oħra, li mhumiex mezhuyut miegħu.

Il-teorema fuq is-somma ta 'angoli ta' trijanglu

Il-teorema jgħid li jekk inti żid sa l-kantunieri tal-forom ġeometriċi, li tinsab fil-pjan Euclidean, allura t-total tagħhom se jkun 180 grad. Ejja nippruvaw biex jipprova dan teorema.

Ħalli għandna triangolu arbitrarja ma vertiċi KMN. Madwar l-quċċata ta 'M se torganizza parallel dirett mal-linja KN (anke din il-linja huwa msejjaħ Ewklide). Għandu jiġi nnutat punt A sabiex il-punti K u A huma rranġati minn naħat differenti tal-linja MN. Irridu jiksbu l-istess angolu ta AMS u MUF, li, bħall-interjuri, jinsabu djagonalment li jiffurmaw jaqtgħu lil xulxin MN flimkien mal NM diretta u MA, li huma paralleli. Minn dan isegwi li s-somma ta 'l-angoli tat-trijangolu, li jinsabu fil-punti ta' M u N huwa ugwali għad-daqs tal-angolu CMA. tliet angoli kollha jikkonsisti minn somma ugwali għas-somma ta 'angoli ta' KMA u MCS. Peress li l-data angoli interni relattivi linji paralleli sided CL u CM MA fil jaqtgħu lil xulxin,-total tagħhom huwa 180 grad. Dan juri l-teorema.

riżultat

Ta 'hawn fuq l-teorema ta' hawn fuq jimplika l-korollarju li ġejja: kull trijangolu għandha żewġ angoli akuta. Biex jipprova dan, ejjew nassumu li din il-figura ġeometrika għandu biss wieħed angolu kważi magħluq għal kollox. Tista 'wkoll tassumi li ħadd mill-kantunieri mhumiex jaqtgħu. F'dan il-każ għandu jkun mill-inqas żewġ angoli, il-kobor tagħhom huwa ugwali għal jew akbar minn 90 grad. Imma mbagħad il-somma ta 'l-angoli hija akbar minn 180 grad. Iżda dan ma jistax ikun, għaliex skond l-angoli somma teorema ta 'trijanglu huwa ugwali għal 180 ° - mhux aktar, xejn anqas. Dak hu li ġiet neċessarjament ipprovata.

Proprjetà kantunieri barra

X'inhu s-somma ta 'l-angoli ta' trijanglu, li huma esterni? It-tweġiba għal din il-mistoqsija tista 'tinkiseb billi jiġi applikat wieħed minn żewġ modi. L-ewwel hija li għandek bżonn biex issib is-somma ta 'l-angoli, li jittieħdu wieħed f'kull vertiċi, jiġifieri tliet angoli. It-tieni jimplika li għandek bżonn issib is-somma tas-sitt angoli fil-punti. Biex jittrattaw mas-bidu tal-ewwel inkarnazzjoni. Għalhekk, il-trijanglu għandha sitt kantunieri esterni - kull darba li l żewġ top. Kull par għandu angoli indaqs bejniethom, peress li huma vertikali:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Barra minn hekk, huwa magħruf li l-kantuniera ta 'barra ta' trijanglu daqs is-somma tat-tnejn ġewwa, li mhumiex mezhuyutsya miegħu. għalhekk,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Minn dan jidher li s-somma ta 'l-angoli ta' barra, li jittieħdu wieħed wieħed ħdejn kull vertiċi se jkun ugwali għal:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + ∟S + ∟A + ∟V + ∟V ∟S + x = 2 (+ ∟A ∟V ∟S +).

Minħabba l-fatt li s-somma ta 'l-angoli ugwali 180 grad, jista' jiġi argumentat li l ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. Dan ifisser li l ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Jekk it-tieni għażla hi użata, is-somma tas-sitt angoli se jkun korrispondentement akbar darbtejn. Jiġifieri s-somma ta 'l-angoli ta' trijanglu barra se jkun:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

trijanglu rettangulari

Dak huwa ugwali għas-somma ta 'l-angoli ta' trijanglu dritt, hija l-gżira? It-tweġiba hija, għal darb'oħra, mill-teorema, li jiddikjara li l-angoli ta 'trijanglu żid sa 180 gradi. A ħoss affermazzjoni tagħna (proprjetà) kif ġej: fi trijangolu dritt angoli li jaqtgħu jammontaw għal 90 grad. Aħna jipprova veraċità tagħha. Ħalli jkun hemm minħabba triangolu KMN, li ∟N = 90 °. Huwa meħtieġ li jipprova li ∟K ∟M = + 90 °.

B'hekk, skond l-teorema fuq is-somma ta 'l-angoli ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. F'dan il-kundizzjoni huwa qal li ∟N = 90 °. Jirriżulta ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. Dan huwa ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. Dak hu li dovremmo li jipprova.

Minbarra l-proprjetajiet imsemmija hawn fuq ta 'trijanglu dritt, inti tista' żżid dawn:

• angoli, li jinsabu kontra l-saqajn huma jaqtgħu;
• l-hypotenuse ta 'l-trijangolari akbar minn kwalunkwe waħda mill-saqajn;
• -somma tar-riġlejn aktar milli l-hypotenuse;
• riġel tal-trijangolu, li tinsab biswit l-angolu ta '30 grad, nofs il-hypotenuse, li hija ugwali għal nofs tagħha.

Bħala proprjetà oħra tal-forma ġeometrika jistgħu jiġu distinti teorema Pythagorean. Hija targumenta li fil-trijangolu b'angolu ta '90 gradi (rettangolari), is-somma tal-kwadrati tar-riġlejn huwa daqs il-kwadru ta' l-hypotenuse.

Is-somma ta 'angoli ta' trijanglu iżòxxile

Preċedenti għidna li iżòxxile triangolu huwa polygon bi tliet vertiċi, li fih żewġ naħat indaqs. Din il-proprjetà hija magħrufa figura ġeometrika: l-angoli fil-bażi tagħha ugwali. Ejjew jipprova dan.

Ħu l-trijangolu KMN, li huwa iżòxxile, SC - bażi tagħha. Aħna huma meħtieġa li tipprova li ∟K = ∟N. Allura, ejja nassumu li MA - KMN huwa l-bisector ta 'trijanglu tagħna. ICA triangolu bl-ewwel sinjal ta 'ugwaljanza huwa trijanglu MNA. Jiġifieri, fuq il-kondizzjoni partikolari, CM = NM, MA huwa naħa komuni, ∟1 = ∟2, għaliex MA - dan bisector. Uża l-ugwaljanza taż-żewġ trijangoli, wieħed jista 'jargumenta li ∟K = ∟N. Għalhekk, il-teorema huwa ppruvat.

Iżda aħna huma interessati, dak li huwa s-somma ta 'l-angoli ta' trijanglu (iżòxxile). Minħabba f'dan ir-rigward ma għandhom karatteristiċi tagħha, aħna se tibda mill-teorema diskuss qabel. Dan huwa, nistgħu ngħidu li ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, jew 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kif ∟K = ∟N). Dan mhux se jipprova l-proprjetà, bħala l-teorema fuq is-somma ta 'l-angoli ta' trijanglu ġie ppruvat qabel.

Ħlief il-proprjetajiet kkunsidrati tas-kantunieri ta 'trijanglu, hemm ukoll tali dikjarazzjonijiet importanti:

• fi l-għoli triangolu ekwilaterali, li kienu ġew titbaxxa mal-bażi, huwa fl-istess ħin il-bisector medjan tal-angolu li huwa bejn il-ġnub indaqs u l-assi tas-simmetrija tal-bażi tiegħu;
• medjan (bisector, altitudni), li huma miżmuma mal-ġnub ta 'figura ġeometrika, huma ugwali.

trijangolu ekwilaterali

Huwa sejjaħ ukoll id-dritt, hija l-trijanglu, li huma ugwali għall-partijiet kollha. U għalhekk ukoll ugwali u angoli. Kull wieħed minnhom huwa 60 gradi. Ejjew jipprova din il-proprjetà.

Ejja nassumu li aħna għandna trijanglu KMN. Aħna nafu li KM = HM = KH. Dan ifisser li, skond l-proprjetà ta 'l-angoli li jinsabu fil-bażi fi trijangolu ekwilaterali ∟K = ∟M = ∟N. Peress li, skond is-somma ta 'angoli ta' teorema trijangolu ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, allura x 3 = 180 ° ∟K jew ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Għalhekk, l-affermazzjoni huwa ppruvat. Kif jidher mill-evidenza ta 'hawn fuq ibbażata fuq l-teorema ta' hawn fuq, is-somma ta 'l-angoli ta' trijangolu ekwilaterali, bħala s-somma ta 'l-angoli ta' kwalunkwe trijangolu oħra hija 180 grad. Għal darb'oħra jipprova dan teorema mhux meħtieġ.

Għad hemm xi proprjetajiet karatteristiċi ta 'trijangolu ekwilaterali:

• bisector medjan tal-għoli f'tali figura ġeometrika identiċi, u t-tul tagħhom huwa kkalkulat bħala (a x √3): 2;
• jekk dan poligonu li jiċċirkoskrivi l-ċirku, allura ir-raġġ se jkun ugwali għal (a x √3): 3;
• jekk inkluża fl-trijangolu ekwilaterali ċirku, raġġ tagħha tkun (x √3): 6;
• qasam tal-figura ġeometrika huwa kkalkulat bil-formula: (a2 x √3): 4.

trijanglu obtuse

Bħala definizzjoni, trijanglu obtuse angolat, wieħed mill-kantunieri tagħha hija bejn 90 sa 180 gradi. Iżda minħabba l-fatt li ż-żewġ angoli oħra tal-forma ġeometrika qawwija, jista 'jiġi konkluż li dawn ma jeċċedux 90 grad. Għalhekk, is-somma ta 'l-angoli ta' teorema trijangolu jaħdem fil-kalkolu tal-somma ta 'l-angoli fi trijanglu obtuse. Allura, nistgħu ngħidu bla periklu, ibbażati fuq it-teorema ta 'hawn fuq li s-somma ta' l-angoli ottużi ta 'trijangolu huwa 180 gradi. Għal darb'oħra, dan teorema ma teħtieġx li prova mill-ġdid.