L-ekwazzjoni tal-pjan: kif jagħmlu? Tipi ekwazzjonijiet pjan

L-ispazju pjan jista 'jiġi ddefinit b'modi differenti (dot wieħed u vector, il-vector u ż-żewġ punti, tliet punti, eċċ). Huwa b'dan il-ħsieb, l-ekwazzjoni pjan jista 'jkollhom tipi differenti. Wkoll taħt ċerti kundizzjonijiet pjan jista 'jkun parallel, perpendikulari, jaqtgħu lil xulxin, eċċ Dwar dan u se jitkellmu f'dan l-artikolu. Aħna se jitgħallmu li jagħmlu l-ekwazzjoni ġenerali tal-pjan u mhux biss.

Il-forma normali ta 'l-ekwazzjoni

Ejja ngħidu R hija l-ispazju _3, li għandha rettangolari coordinate XYZ. Aħna jiddefinixxu α vector, li se jiġu rilaxxati mill-punt tat-tluq O. Permezz tal-aħħar ta 'l-α vettur ifasslu pjan P li jkun perpendikolari għalih.

Tiddenota P fi arbitrarja punt Q = (x, y, z). Il-vector raġġ tal-punt Q ittra sinjal p. It-tul tal-vettur ugwali p α = IαI u Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Dan vector unità, li hija diretta fid-direzzjoni kif α vettur. α, β u γ - huma angoli li huma ffurmati bejn il-vector u d-direzzjonijiet pożittivi Ʋ assi spazjali x, y, z rispettivament. Il-projezzjoni ta 'punt fuq vector QεP Ʋ huwa kostanti li hija ugwali għall-p (p, Ʋ) = p (r≥0).

L-ekwazzjoni ta 'hawn fuq huwa sinifikanti meta p = 0. L-unika pjan n f'dan il-każ, jaqsam il-punt O (α = 0), li hija l-oriġini, u Ʋ unità vector, rilaxxata mill-punt O se jkun perpendikulari mal P, għalkemm id-direzzjoni tagħha, li jfisser li l-Ʋ vettur determinat sal-sinjal. ekwazzjoni preċedenti pjan P tagħna, espressi f'forma vettur. Iżda minħabba l-koordinati tagħha huwa:

P hija ikbar minn jew ugwali għal 0. Sibna l-ekwazzjoni pjan fil-forma normali.

L-ekwazzjoni ġenerali

Jekk l-ekwazzjoni fil-koordinati immoltiplika minn kull numru li mhuwiex ugwali għal żero, irridu jiksbu l-ekwazzjoni ekwivalenti għal dan li jiddefinixxi l-pjan ħafna. Dan se jkollu l-forma li ġejja:

Hawnhekk, A, B, Ċ - huwa n-numru ta 'simultanjament differenti minn żero. Din l-ekwazzjoni tissejjaħ l-ekwazzjoni tal-formola ġenerali tal-pjan.

L-ekwazzjonijiet tal-pjani. każijiet speċjali

L-ekwazzjoni jistgħu ġeneralment jiġu modifikati mal-kundizzjonijiet addizzjonali. Ikkunsidra xi wħud minnhom.

Assumi li l-koeffiċjent A hija 0. Dan jindika li l-pjan parallel mal-OX assi predeterminat. F'dan il-każ, il-forma tal-ekwazzjoni bidliet: Wu + CZ + D = 0.

Bl-istess mod, il-forma ta 'ekwazzjoni u se jvarjaw mal-kundizzjonijiet li ġejjin:

• L-ewwelnett, jekk B = 0, il-bidliet ekwazzjoni għall Axe + CZ + D = 0, li jindikaw il-parallelliżmu mal-fus Oy.
• It-tieni nett, jekk Ċ = 0, l-ekwazzjoni hija trasformata Axe + Sa + D = 0, jiġifieri dwar parallela mal-assi predeterminati Oz.
• It-tielet, jekk D = 0, l-ekwazzjoni se jidhru bħala Axe + Sa + CZ = 0, li jfisser li l-pjan jaqsam O (l-oriġini).
• Ir-Raba ', jekk A = B = 0, il-bidliet ekwazzjoni għall CZ + D = 0, li se jirriżultaw li paralleliżmu Oxy.
• Il-ħames, jekk B = C = 0, l-ekwazzjoni ssir Axe + D = 0, li jfisser li l-pjan huwa parallel għall Oyz.
• Sitt nett, jekk A = C = 0, l-ekwazzjoni tieħu l-forma Wu + D = 0, jiġifieri, ser jirrapporta lill-Oxz parallelliżmu.

Forma tal-ekwazzjoni fis-segmenti

Fil-każ fejn in-numri A, B, Ċ, D differenti minn żero, il-forma ta 'ekwazzjoni (0) jistgħu jkunu kif ġej:

x / A + y / b + z / c = 1,

fejn a = -D / A, b = -D / B, c = -D / C.

Nirċievu bħala ekwazzjoni riżultat tal-pjan f'biċċiet. Għandu jiġi nnutat li dan il-pjan se jiltaqgħu l-assi x fil-punt ma koordinati (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), u Oz - (0,0, i).

Minħabba l-ekwazzjoni x / a + y / b + z / c = 1, mhuwiex diffiċli li Ħares-pjan tqegħid relatati ma 'sistema predeterminat jikkoordinaw.

Il-koordinati tal-vettur normali

N vettur normali mal-pjan P għandu koordinati li huma l-koeffiċjenti ta 'l-ekwazzjoni ġenerali tal-pjan, jiġifieri n (A, B, Ċ).

Sabiex jiġi ddeterminat l-koordinati tal-n normali, huwa biżżejjed li tkun taf l-ekwazzjoni ġenerali mogħtija pjan.

Meta jintuża l-ekwazzjoni fis-segmenti, li għandha l-forma x / a + y / b + z / c = 1, bħal meta tuża l-ekwazzjoni ġenerali tista 'koordinati ta' kull vektor normali miktub pjan partikolari: (1 / A + 1 / b + 1 / c).

Għandu jiġi nnutat li l-vettur normali ta 'tgħin biex issolvi problemi varji. Il-problemi l-aktar komuni huma jikkonsistu fi pjanijiet perpendikolari jew paralleli prova, il-kompitu ta 'konstatazzjoni l-angoli bejn il-pjani jew l-angoli bejn il-pjani u l-linji dritti.

Tip skond l-ekwazzjoni pjan u koordinati tal-vettur normali punt

A nonzero n vector, perpendikulari mal-pjan partikolari, imsejħa normali (normali) għal pjan predeterminat.

Ejja ngħidu li fl-ispazju jikkoordinaw ( 'forma rettangolari sistema ta' koordinati) Oxyz stabbiliti:

• punt Mₒ ma koordinati (hₒ, uₒ, zₒ);
• żero vettur n = A * i + Ċ * * B j + k.

Inti għandek bżonn tagħmel ekwazzjoni tal-pjan li jgħaddi mill-punt Mₒ perpendikulari mal-n normali.

Fl-ispazju nagħżlu kwalunkwe punt arbitrarja u jindikaw M (x, y, z). Ħalli l-vettur raġġ ta 'kull punt M (x, y, z) se jkun r = × * i + y * z * k j +, u l-vettur raġġ ta' punt Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Il-punt M se jappartjenu għal pjan partikolari, jekk il-MₒM vettur jkun perpendikulari mal-n vettur. Aħna tikteb l-kundizzjoni tal orthogonality tuża l-prodott scalar:

[MₒM, n] = 0.

Peress MₒM = r-rₒ, l-ekwazzjoni vettur tal-pjan se teżamina bħal dan:

[R - rₒ, n] = 0.

Din l-ekwazzjoni jista 'jkollhom ukoll forma oħra. Għal dan il-għan, il-proprjetajiet tal-prodott scalar, u konvertiti fuq ix-xellug tal-ekwazzjoni. [R - rₒ, n] = [r, i] - [rₒ, n]. Jekk [rₒ, n] indikati bħala i, irridu jiksbu l-ekwazzjoni li ġejja: [r, i] - a = 0 jew [r, n] = s, li jesprimi l-kostanza tal-projezzjonijiet fuq il-vettur normali tal-radjus-vetturi tal-punti mogħtija li jappartjenu pjan.

Issa inti tista 'tikseb l-tikkoordina reġistrazzjoni tip pjan ekwazzjoni vettorjali tagħna [r - rₒ, n] = 0. Peress r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, u n = A * i + B * j + Ċ * k, għandna:

Jirriżulta li aħna għandna l-ekwazzjoni huwa ffurmat pjan li jgħaddi mill-punt perpendikulari mal-n normali:

A * (x hₒ) + B * (uₒ y) S * (z-zₒ) = 0.

Tip skond l-ekwazzjoni pjan u koordinati ta 'żewġ punti ta' l-collinear pjan vettur

Aħna jiddefinixxu żewġ punti arbitrarji M "(x ', y', uz ') u M" (x ", y", z "), kif ukoll il-vettur (a", a ", a ‴).

Issa nistgħu jikteb ekwazzjoni predeterminat pjan li jgħaddi mill-punt eżistenti M "u M", u kull punt mal-M koordinati (x, y, z) paralleli għal vector partikolari.

Għalhekk vettori M'M x = {x ", y y"; zz "} u M" M = {x "-x", y "y"; z "z"} għandu jkun coplanar mal-vettur a = (a ", a", a ‴), li jfisser li (M'M M "M, a) = 0.

Allura ekwazzjoni tagħna ta 'pjan fl-ispazju se teżamina bħal dan:

Tip ta 'ekwazzjoni pjan, qsim tliet punti

Ejja ngħidu li għandna tliet punti: (x ", y ', uz'), (x", y ", z"), (x ‴ Have ‴, z ‴), li ma jappartjenux għall-istess linja. Huwa meħtieġ li tikteb ekwazzjoni tal-pjan li jgħaddi mill-tliet punti speċifiċi. teorija ġeometrija jargumenta li dan it-tip ta 'pjan ma jeżistu, huwa biss wieħed u biss. Peress li dan pjan jaqsam il-punt (x ', y', uz '), il-forma ekwazzjoni tagħha tkun:

Hawnhekk, A, B, u Ċ huma differenti minn żero fl-istess ħin. Wkoll pjan mogħti jaqsam żewġ punti oħra (x ", y", z ") u (x ‴, y ‴, z ‴). F'dan ir-rigward għandu jitwettaq dan it-tip ta 'kundizzjonijiet:

Issa nistgħu noħolqu sistema uniformi ta 'ekwazzjonijiet (lineari) ma' mhux magħrufa u, vs, w:

Fil-każ tagħna x, y jew z stands punt arbitrarja li tissodisfa ekwazzjoni (1). Meta wieħed iqis ekwazzjoni (1) u sistema ta 'ekwazzjonijiet (2) u (3) is-sistema ta' ekwazzjonijiet indikati fil-figura ta 'hawn fuq, il-vettur jissodisfa N (A, B, Ċ) li huwa nontrivial. Huwa minħabba l-fattur determinanti tas-sistema huwa żero.

Ekwazzjoni (1) li konna ltqajna, dan huwa l-ekwazzjoni tal-pjan. 3 punt hi verament tmur, u huwa faċli biex jiċċekkjaw. Biex tagħmel dan, aħna jespandu l-element determinanti mill-elementi fl-ewwel filliera. Tal-proprjetajiet eżistenti determinanti isegwi li pjan tagħna simultanjament jaqsam il punt tlieta oriġinarjament predeterminat (x ', y', uz '), (x ", y", z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Allura aħna iddeċieda li kompitu jinsab quddiemna.

angolu dihedral bejn il-pjani

angolu dihedral hija forma ġeometrika spazjali ffurmati minn żewġ nofs pjani li joħorġu minn linja dritta. Fi kliem ieħor, parti mill-ispazju li hija limitata għar-nofs ajruplani.

Ejja ngħidu għandna żewġ pjan bl-ekwazzjonijiet li ġejjin:

Aħna nafu li l-vettur N = (A, B, C) u N¹ = (A¹, H¹, S¹) skond pjani predeterminati huma perpendikolari. F'dan ir-rigward, l-angolu φ bejn vettori N u N¹ angolu ugwali (dihedral), li tinsab bejn dawn pjani. Il-prodott scalar huwa mogħti bi:

NN¹ = | N || N¹ | cos φ,

preċiżament minħabba

cosφ = NN¹ / | N || N¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Huwa biżżejjed li jiġi kkunsidrat li 0≤φ≤π.

Attwalment żewġ pjani li jiltaqgħu, forma tnejn angolu (dihedral): φ ₁ u φ _2. somma tagħhom huwa ugwali għal Õ (φ ₁ + φ ₂ = π). Fir-cosines tagħhom, il-valuri assoluti tagħhom huma ugwali, iżda dawn huma sinjali differenti, jiġifieri, cos φ ₁ = -cos φ _2. Jekk fl-ekwazzjoni (0) għandu jiġi sostitwit b'dan A, B u C tal-A, -B u -C rispettivament, l-ekwazzjoni, irridu jiksbu, se jiddeterminaw l-istess pjan, l-unika angolu φ fil φ cos ekwazzjoni = NN ¹ / | N || N ¹ | Se jkun mibdul b'dan π-φ.

L-ekwazzjoni tal-pjan perpendikolari

Imsejħa perpendikulari pjan, li bejniethom l-angolu huwa ta '90 gradi. Uża l-materjal ippreżentat hawn fuq, nistgħu nsibu l-ekwazzjoni ta 'pjan perpendikulari għall-oħra. Ejja ngħidu għandna żewġ pjani: Axe + Sa + CZ + D = 0, u + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Nistgħu ngħidu li dawn huma ortogonali jekk cos = 0. Dan ifisser li NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

L-ekwazzjoni ta 'pjan parallel

Hija rreferiet għal żewġ pjani paralleli li fihom l-ebda punti komuni.

Il-kondizzjoni ta 'ajruplani paralleli (ekwazzjonijiet tagħhom huma l-istess bħal fil-punt preċedenti) huwa li l-vettori N u N¹, li huma perpendikulari għalihom, collinear. Dan ifisser li l-kundizzjonijiet li ġejjin proporzjonalità:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Jekk it-termini proporzjonali huma elaborat - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

dan jindika li l-pjan tad-data ta 'l-istess. Dan ifisser li Axe ekwazzjoni + Sa + CZ + D = 0 u + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 jiddeskrivu pjan wieħed.

Id-distanza mill-punt għall-pjan

Ejja ngħidu aħna għandna pjan P, li huwa mogħti bi (0). Huwa meħtieġ li jinstab id-distanza mill-punt ma koordinati (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Ikollok bżonn biex iġibu l-ekwazzjoni fid-dehra normali pjan II li jagħmilha:

(Ρ, v) = p (r≥0).

F'dan il-każ, ρ (x, y, z) hija l-vettur raġġ tal-punt Q tagħna, li jinsabu fuq n p - n huwa t-tul tal-perpendikulari, li kien rilaxxat mill-punt żero, vs - huwa l-vettur unità, li huwa rranġat fid-direzzjoni ta '.

Id-differenza-ρ ρº vettur raġġ ta 'punt Q = (x, y, z), li jappartjenu għall nu l-vector raġġ ta' punt partikolari Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) huwa tali vettur, il-valur assolut tal-projezzjoni tiegħu fis vs ugwali distanza d, li hija meħtieġa biex ssib minn Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, iżda

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Għalhekk jirriżulta li,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Issa huwa ċar li biex jikkalkulaw id-distanza d bejn ₀ u Q-pjan P, huwa meħtieġ li tuża normali ekwazzjoni pjan fehma, il-bidla lejn ix-xellug ta 'p, u l-aħħar post ta' x, y, z sostitut (hₒ, uₒ, zₒ).

Għalhekk, insibu l-valur assolut ta 'l-espressjoni li tirriżulta li hija meħtieġa d.

Jużaw il-parametri tal-lingwa, irridu jiksbu l-ovvju:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Jekk il-punt speċifikat Q ₀ fuq in-naħa l-oħra tal-pjan P bħala l-oriġini, allura bejn il-vector ρ-ρ ⁰ uv huwa f'angolu ottużi, hekk:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

Fil-każ meta l-punt Q ₀ flimkien mal-oriġini li jinsabu fuq l-istess naħa tal-U, l-angolu kważi magħluq għal kollox hija maħluqa, jiġifieri:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Ir-riżultat huwa li fl-ewwel każ (ρ ^0, v)> p, fit-tieni (ρ ^0, v)

U ekwazzjoni pjan tanġenzjali tiegħu

Dwar il-pjan għall-wiċċ fil-punt ta Mº tanġenza - pjan li jkun fih l tanġent possibbli li l-kurva mfassla f'dak il-post fuq il-wiċċ.

Ma 'din il-forma wiċċ tal-ekwazzjoni F (x, y, z) = 0 fl-ekwazzjoni tal-punt tanġent pjan tanġenzjali Mº (hº, uº, zº) ikun:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (y uº) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Jekk il-wiċċ huwa stabbilit espliċitament z = f (x, y), allura l-pjan tanġent huwa deskritt bl-ekwazzjoni:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (uº y).

L-intersezzjoni ta 'żewġ ajruplani

Fil ispazju tridimensjonali hija coordinate (rettangolari) Oxyz, jingħataw żewġ pjani P 'u P' li jikkoinċidu u ma jikkoinċidux. Peress li kull pjan, li huwa fil-forma rettangolari sistema ta 'koordinati definita mill-ekwazzjoni ġenerali, aħna nassumu li n "u n" huma definiti bl-ekwazzjonijiet A'x + V'u S'z + + D "= 0 u A" + B x "+ y Bil- "z + D" = 0. F'dan il-każ għandna n normali "(A ', B", C ") tal-pjan P" u n normali "(A", B ", Ċ") tal-pjan P ". Kif pjan tagħna mhumiex paralleli u ma jikkoinċidux, allura dawn vettori mhumiex collinear. Użu tal-lingwa tal-matematika, aħna għandna din il-kundizzjoni tista 'tinkiteb bħala: n "≠ n" ↔ (A', B ", C") ≠ (λ * U ", λ * Fil-", λ * Ċ "), λεR. Ħalli l-linja dritta li tinsab fl-intersezzjoni P 'u P ", se jiġu mniżżla mill-ittra ta', f'dan il-każ = P" ∩ P ".

u - linja jikkonsisti pluralità ta 'punti (komuni) pjani P "u P". Dan ifisser li l-koordinati ta 'kull punt li jappartjenu għall-linja ta', iridu simultanjament tissodisfa l-ekwazzjoni A'x + V'u S'z + + D "= 0 u A" x + B "+ C y" z + D "= 0. Dan ifisser li l-koordinati tal-punt se tkun soluzzjoni partikolari tal-ekwazzjonijiet li ġejjin:

Ir-riżultat huwa li s-soluzzjoni (globali) ta din is-sistema ta 'ekwazzjonijiet se jiddeterminaw l-koordinati ta' kull ta 'punti fuq il-linja li se jaġixxi bħala l-punt ta' intersezzjoni P 'u P ", u jiddeterminaw linja f'sistema jikkoordinaw Oxyz (rettangolari)-ispazju.