X'inhu aritmetika? teorema fundamentali ta 'aritmetika. aritmetika binarja

X'inhu aritmetika? Meta umanità bdiet tuża numri u jaħdmu magħhom? Fejn huma l-għeruq tagħha ta 'kunċetti ta' kuljum bħal numri, frazzjonijiet, tnaqqis, addizzjoni u multiplikazzjoni, dik il-persuna tkun għamlet parti integrali tal-ħajja tiegħu u l-prospetti? imħuħ Griegi ammirajt dawn xjenzi bħal matematika, aritmetika u l-ġeometrija, bħala sinfonija sabiħa ta 'loġika umana.

Forsi matematika mhix kif fil-fond bħall-xjenzi oħra, iżda dak li jiġri lilhom, nies tinsa l-tabelli tal-multiplikazzjoni elementari? Familjari għalina ħsieb loġiku, bl-użu numri, frazzjonijiet, u għodod oħra biex tagħti lin-nies hard time, u għal żmien twil ma kienx disponibbli għall-antenati tagħna. Fil-fatt, qabel l-iżvilupp ta 'aritmetika ebda qasam ta' għarfien tal-bniedem ma kienx verament xjentifika.

Aritmetika - Matematika huwa l-alfabett

Aritmetika - l-xjenza ta 'numri, li biha kull individwu jibda l-familjarità mad-dinja affaxxinanti tal-matematika. Fil-kliem tal M. V. Lomonosov, aritmetika - dan huwa l-bieb ta 'tagħlim, tiftaħ it-triq għalina biex Miropoznanie. Imma hu d-dritt, huwa l-għarfien tad-dinja jistgħu jiġu separati mill-għarfien ta 'ittri u numri, il-matematika u diskors? Forsi fil-ġurnata, iżda mhux fid-dinja moderna, fejn l-iżvilupp mgħaġġel ta 'xjenza u teknoloġija tagħmilha liġijiet tagħha stess.

Il-kelma "aritmetika" (GK. "Arifmos") ta 'oriġini Griega, tfisser "numru". Hija teżamina n-numru u dak kollu li jistgħu jiġu assoċjati magħhom. Dan huwa l-dinja ta 'numri: varji operazzjonijiet fuq in-numri, regoli numeriċi, il-kompiti li huma assoċjati ma' l-multiplikazzjoni, tnaqqis, u hekk ..

Huwa ġeneralment aċċettat li l-ewwel pass huwa l-Matematika aritmetika u bażi solida għall-aktar kumplessi taqsimiet tagħha, bħal alġebra, analiżi matematika, matematika ogħla u t. D.

L-għan prinċipali ta 'aritmetika

Il-bażi ta 'aritmetika - huwa integer, proprjetajiet u liġijiet li huma kkunsidrati l-ogħla aritmetiku jew teorija tan-numri. Fil-fatt, kif l-approċċ dritt jittieħed fil-konsiderazzjoni ta 'tali unità żgħira, bħala numru naturali dipendenti fuq is-saħħa tal-bini - matematika.

Għalhekk, il-kwistjoni li hija aritmetika, it-tweġiba hija sempliċi: huwa l-xjenza ta 'numri. Iva, dwar l-soltu seba ', disa', u kollha ta 'din il-komunità diversa. U biss kif ukoll, u l-versi aktar medjokri ma jistgħux jiktbu mingħajr alfabett bażiku, mingħajr aritmetika ma jistgħux jiġu solvuti anke ħidmiet bażiċi. C'est pourquoi il-xjenzi avvanzat biss wara l-iżvilupp ta 'aritmetika u l-matematika, li primarjament sett ta' suppożizzjonijiet.

Aritmetika - xjenza ghost

X'inhu aritmetika - xjenza naturali jew fantażma? Fil-fatt, kif il-filosofi Grieg antik motivata, ebda numri, ma jeżistu l-ebda ċifri fir-realtà. Huwa biss fantażma, li hija maħluqa fil-ħsieb tal-bniedem meta viewing-ambjent u l-proċessi tagħha. Fil-fatt, dak li huwa n-numru? Imkien madwar aħna ma tara xi ħaġa bħal dik jista 'jissejjaħ in-numru, pjuttost, in-numru - huwa mod biex jesploraw id-dinja ta' l-moħħ tal-bniedem. Forsi dan l-istudju għandna ġewwa infushom? Filosofi jargumentaw dwar dan għal ħafna sekli fil-filliera, biex tagħti risposta eżawrjenti aħna ma twettaq. Jew il-mod, il-aritmetika jista hekk sewwa tieħu pożizzjoni tagħhom fid-dinja moderna ħadd ma jista 'jitqies soċjalment adattati mingħajr ma tkun taf sisien tagħha.

Kif kien hemm numru sħiħ pożittiv

Naturalment, l-għan prinċipali ta 'li topera aritmetika, - numru naturali bħal 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... eċċ Aritmetika ta 'numri naturali hija r-riżultat ta' l-ispiża ta 'oġġetti ordinarji, bħal baqar fil-meadow. Still, id-definizzjoni ta ' "lott" jew "ftit" meta xi ħaġa ma baqgħetx iżżomm nies, u kellhom jivvintaw teknika għadd aktar sofistikati.

Iżda l-żvilupp reali daħal meta l-moħħ tal-bniedem laħqet il-punt li jista 'jkun wieħed u l-istess numru ta' "żewġ" biex jinnominaw u 2 kg, u 2 briks u 2 partijiet. Il-fatt li huwa meħtieġ li astratt mill-forom, karatteristiċi u t-tifsira ta 'oġġetti, allura nistgħu jipproduċu xi azzjoni ma' dawn l-oġġetti fil-forma ta interi pożittivi. Għalhekk twieled il aritmetika ta 'numri, li huwa żviluppat u mwessa' fl tokkupa pożizzjoni fis-soċjetà aktar.

Tali fil-fond il-kunċett ta 'numru, kif żero u n-numri negattivi, frazzjonijiet, numri jirreferu għan-numri b'modi oħra, għandhom storja għanja u interessanti ta' żvilupp.

Aritmetika u prattiċi Egyptians

Żewġ ħbieb tal-bniedem tal-qedem fl-istudju tad-dinja u jsolvu problemi ta 'kuljum - dan aritmetika u l-ġeometrija.

Huwa maħsub li l-istorja ta 'aritmetika għandu l-oriġini tagħha fil-Lvant Qedem: Indja, l-Eġittu, Babylon u ċ-Ċina. Allura, Rhind Papyrus oriġini Eġizzjana (hekk imsejjaħ minħabba l-istess isem li jappartjenu lis-sid), li tmur lura għas-seklu XX. QK, flimkien ma 'data ta' valur oħra tinkludi l-espansjoni ta 'frazzjoni fl-ammont ta' frazzjonijiet b'denominaturi differenti u numeratur ugwali għal wieħed.

Per eżempju: 2/73 = 1/60 + 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Imma x'inhi t-tifsira ta 'tali dekompożizzjoni kumpless? Il-fatt li l-approċċ Eġizzjan ma tittollerax estratt jaħsbu dwar in-numri, għall-kuntrarju, il-kalkoli saru biss għall-għanijiet prattiċi. Jiġifieri, l-Egyptians se tkun involuta fin-negozju bħal kalkoli, biss sabiex tinbena l-qabar, per eżempju. Kien meħtieġ li tikkalkula t-tul tal-istruttura xewka, u hija għamlet għal persuna biex ipoġġu papyrus. Kif jidher, il-progress Eġizzjani fil-kalkoli kienet imsejħa, pjuttost kbir, bini, aktar milli l-imħabba ta 'xjenza.

Għal din ir-raġuni, il-kalkoli misjuba fuq papyri, ma tistax tiġi kkontestata riflessjonijiet dwar is-suġġett ta 'frazzjonijiet. Ħafna probabbli, huwa tħejjija prattika, li għenu biex tkompli isolvu problemi bil frazzjonijiet. Il-Egyptians qedem ma kinux jafu l-tabella multiplikazzjoni, prodotta kalkoli aktarx twal, mifruxa fis ħafna subtasks. Forsi din hija waħda minn dawk subtasks. Huwa faċli li l-avviż li l-kalkoli ma 'dawn blanks huwa ħafna ħin u mhux promettenti ħafna. Forsi għal din ir-raġuni aħna ma tara kontribut kbir għall-iżvilupp tal-matematika Eġizzjan antik.

Greċja Antika u aritmetika filosofiċi

Ħafna mill-għarfien ta 'l-Lvant Qedem kienu mhaddma b'suċċess mill-Griegi tal-qedem, magħrufa għal fannijiet ta' riflessjoni astratta, astratta u filosofiċi. Prattika minnhom interessati fil xejn inqas iżda l-aħjar Teoristi u ħassieba huma diffiċli li ssib. Kien tajjeb għall-xjenza għaliex matematika mhuwiex possibbli li jmorru fil-fond, ma tiċċarrat mar-realtà. Naturalment, huwa possibbli li timmultiplika l-10 baqar u 100 litru ta 'ħalib, iżda mhux ikunu jistgħu jiċċirkolaw s'issa.

Griegi ħsieb profondament ħalla marka sinifikanti fl-istorja, u xogħlijiet tagħhom jiġu għandna:

• Ewklide u "Elementi".
• Pitagora.
• Densimetrija.
• Eratosthenes.
• Zenon.
• Anaxagoras.

U, naturalment, dawriet l-filosofija ta 'l-Griegi, u speċjalment l-segwaċi ta' każijiet Pitagora kienu hekk passjonat dwar in-numri, li kkunsidrati minnhom armonija dinjija misteru. In-numri ġew hekk studjati u investigati, li xi wħud minnhom u koppji tagħhom attribwiti karatteristiċi speċjali. Per eżempju:

• numri perfetta - dawk li huma s-somma ta 'divisors kollha tagħha ħlief in-numru innifsu (6 = 1 + 2 + 3).
• numri Friendly - dawn in-numri, li waħda minnhom hija s-somma ta 'l-divisors kollha tat-tieni u viċi versa (Pythagorean jafu wieħed biss bħal par: 220 u 284).

Il-Griegi, li jemmnu li x-xjenza għandhom jiġu imħabba, ma tkun magħha għall-fini ta 'żieda fil, għamlu progress kbir, l-esplorazzjoni, playing u żżid numri. Għandu jiġi nnutat li mhux kollha tar-riċerka tagħhom ġew użati, xi wħud minnhom kienu biss "għall-ġmiel."

ħassieba tal-lvant tal-Medju Evu

Bl-istess mod, fil-Medju Evu aritmetika hija trid tagħti l-iżvilupp tagħha lill-kontemporanji tal-Lvant. L-Indjani tana l-figuri li aħna attivament jużaw tali ħaġa bħala "żero", u l-varjazzjoni pożizzjoni sistema tal-kalkolu, il-perċezzjoni moderna tas-soltu. Minn Al-poriġ, li fis-seklu 15 ħadmu fil Samarkand, aħna wirtu l- deċimali, li mingħajrhom huwa diffiċli li wieħed jimmaġina aritmetika moderna.

F'ħafna modi, l-Ewropa familjari mal-kisbiet tal-Lvant sar possibbli grazzi għall-ħidma ta 'xjentist Taljan Leonardo Fibonacci, li kiteb ktieb "Liber abaci", acquainting ma' innovazzjonijiet orjentali. Hija saret l-pedament tal-iżvilupp ta 'algebra u aritmetika, riċerka u attivitajiet xjentifiċi fl-Ewropa.

aritmetika russian

Fl-aħħarnett, aritmetika, sabet postha u għeruq fl-Ewropa, bdiet tinfirex fuq l-art Russa. Russu ewwel aritmetika ippubblikata fil 1703 - kien ktieb dwar aritmetika Leontiya Magnitskogo. Għal żmien twil kien l-uniku tutorja fil-matematika. Fiha l-mumenti tal-bidu ta 'l-alġebra u l-ġeometrija. Il-figuri, li kienu użati fl-eżempji ta 'l-ewwel ktieb tar-Russja tal-aritmetika, Għarbi. Għalkemm numri Għarab iltaqgħu qabel, fil-inċiżjonijiet li jmorru lura għas-seklu 17.

Il-ktieb innifsu huwa imżejjen bi stampi ta 'densimetrija u Pitagora, u fl-ewwel paġna - aritmetika immaġni bħala mara. Hija tpoġġi fuq il-tron, taħt huwa miktub fil-kelma Ebrajk għall-isem ta 'Alla, u dwar il-passi li jwasslu l-altar, iskritti bil-kelma "diviżjoni", "żieda", "minn hekk", u l-bqija. D. Wieħed jista' biss jimmaġina liema valur ingannata dawn veritajiet, li issa huma kkunsidrati komuni.

Il-textbook ta '600 paġni tiddeskrivi bħala l-bażi ta' żieda simili u tabelli tal-multiplikazzjoni, u l-applikazzjonijiet għax-xjenzi navigazzjoni.

Mhux ta 'b'xejn, l-awtur għażel l-immaġni ta' l-ħassieba Griegi għall-ktieb tiegħu, għaliex hu stess kien captivated mill-sbuħija ta 'aritmetika, qal, "Aritmetika kien chislitelnitsa arti hemm ġusta, nezavistnoe ...". Dan l-approċċ għall-aritmetika ikun fondat, minħabba li huwa l-adozzjoni mifruxa tagħha jista 'jitqies l-bidu tal-iżvilupp rapidu tal-ħsieb xjentifiku fir-Russja u l-edukazzjoni ġenerali.

PRIMES inċerti

numru prime - huwa numru naturali, li huwa biss 2 divisors pożittivi: 1 u innifsu. Kollha numri oħra, ħlief 1 tissejjaħ komposti. Eżempji ta 'numri prime: 2, 3, 5, 7, 11, u oħrajn kollha li mhumiex divisors minbarra 1 u n-numru innifsu.

Fir-rigward in-numru 1, huwa bi premium - hemm qbil li għandu jiġi kkunsidrat la sempliċi u lanqas kompost. Sempliċi ewwel daqqa t'għajn, numru sempliċi jaħbi misteri mhux solvuti ħafna fihom infushom.

teorema Ewklide jgħid li numru infinit ta 'PRIMES, u Eratosthenes ħareġ bi aritmetika speċjali "għarbiel", li jelimina numri kumplikati, li jħallu biss sempliċi.

Essenza tiegħu huwa li jenfasizzaw l-ewwel numru undelete, u fil-impressjonanti sussegwenti barra dawk li huma multipli ta 'dan. Aħna irrepeti din il-proċedura diversi drabi - u jiksbu tabella ta 'numri prime.

teorema fundamentali ta 'aritmetika

Fost l-osservazzjonijiet dwar in-numri prime bżonn apposta nsemmux il-teorema aritmetika bażiku.

teorema aritmetika bażiku jiddikjara li kull numru sħiħ akbar minn 1, jew sempliċi jew jista 'jiġi dekompost fi prodott ta' numri prime sa l-ordni ta 'fatturi ripetizzjoni, l-uniku mod.

teorema fundamentali ta 'aritmetika ppruvat pjuttost diffiċli, u l-fehim mhuwiex simili biss il-punti bażiċi.

Ewwel daqqa t'għajn, in-numri prime - kunċett elementari, iżda mhuwiex. Fiżika wkoll ladarba jitqies atomu elementari, sakemm hija sabet ġewwa univers. PRIMES ddedikata storja matematiku sabiħa Don Zagier "L-ewwel ħamsin miljun numri prime."

Mill- "tliet tuffieħ" għal liġijiet deductive

Li verament jista 'jissejjaħ pedament msaħħa tax-xjenza kollha --liġijiet ta' aritmetika. Anki bħala wild l-wiċċ aritmetika, tistudja l-għadd ta 'riġlejn u dirgħajn fil-pupi, in-numru ta' kubi, tuffieħ u l-bqija. D. Allura aħna l-istudju aritmetika, li mbagħad timxi f'regoli aktar kumplessi.

ħajja kollu tagħna tintroduċi lilna għar-regoli tal aritmetika, li kienu għall-bniedem komuni l-aktar utli ta 'dak kollu li x-xjenza tagħti. L-istudju ta 'numri - huwa "Aritmetika baby", li tintroduċi bniedem għad-dinja ta' numri kif numri fit-tfulija bikrija.

Ogħla Aritmetika - xjenza deductive li istudji l-liġijiet ta 'aritmetika. Ħafna minnhom nafu, għalkemm forsi ma nafux kliem eżatt tagħhom.

Il-liġi ta 'addizzjoni u multiplikazzjoni

Kwalunkwe żewġ numri interi a u b jista 'jiġi espress bħala s-somma ta' + b, li huwa wkoll numru naturali. Rigward iż-żieda, il-liġijiet li ġejjin:

• Kommuttativa, li tgħid li l-permutation tat-termini postijiet ammont ma tbiddilx, jew + b = b + a.
• Assoċjattiva li imsemmija somma ma tiddependix fuq il-metodu tal grupp termini f'postijiet, jew + (b + ċ) = (a + b) + c.

Regoli ta 'aritmetika, bħal addizzjoni, - wieħed tar-Regolament bażiku, iżda huma użati l-xjenzi, biex ma nsemmux ħajja ta' kuljum.

Kwalunkwe żewġ numri interi aub jistgħu jiġu espressi fil-prodott jew b * a * b, li huwa wkoll numru naturali. Li tapplika l-prodott l-istess liġijiet kommuttativa u assoċjattiva bħala għaż-żieda ta ':

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Huwa interessanti li hemm liġi, li jgħaqqad addizzjoni u multiplikazzjoni, magħrufa wkoll bħala distribuzzjoni jew liġi distributtiva:

a (+ ċ b) = ab + ac

Din il-liġi tgħallimna li jaħdmu ma 'parentesi, ftuħ tagħhom, u b'hekk nistgħu diġà jaħdmu ma formuli aktar kumplessi. Dawn huma l-liġijiet li se iwassalna permezz-dinja quaint iżda kumplessa ta 'l-alġebra.

Liġi ordni aritmetika

dwar il-liġijiet tal-loġika umana hija tuża kull jum, iċċekkjar għassa tiegħu u jingħaddu l-kontijiet. U, madankollu, u għandu jkun f'lingwa speċifika.

Jekk għandna żewġ interi pożittivi aub, allura l-għażliet li ġejjin:

• a huwa ugwali għal b, jew a = b;
• inqas minn b, jew
• a huwa akbar minn b, jew> b.

Tat-tliet għażliet biss jista 'jkun wieħed biss. Il-Liġi Bażika, li jirregola l-proċedura, qal: jekk

Hemm ukoll liġijiet li jorbtu l-azzjonijiet tal-ordni ta 'addizzjoni u multiplikazzjoni: jekk

Il-liġijiet ta aritmetika mgħallma magħna biex jaħdmu ma 'numri, sinjali u brazzi, tidwir kollox fis sinfonija armonjuż ta' numri.

sistema ta 'numerazzjoni pożizzjonali u nonpositional

Nistgħu ngħidu li n-numri - dan huwa l-lingwa tal-matematika, mill-konvenjenza ta 'liema jiddependi fuq ħafna affarijiet. Hemm ħafna sistemi ta 'kalkolu, li, bħall-alfabeti tal-lingwi differenti differenti.

Ikkunsidra s-sistema numru mill-punt ta 'pożizzjonijiet impatt fuq il-valur kwantitattiva tal-ċifri f'din il-pożizzjoni. Per eżempju, sistema Ruman huwa nonpositional fejn kull numru hija kodifikata minn sett speċifiku ta 'karattri speċjali: I / V / X / L / C / D / M. Dawn huma, rispettivament, in-numri 1/5/10/50/100/500 / 1000. F'din is-sistema, il-figura ma jbiddilx determinazzjoni kwantitattiva tagħha, jiddependi fuq mill f'liema pożizzjoni suppost: .. L-ewwel, it-tieni, eċċ Biex tikseb l-numri l-oħra, huwa meħtieġ li jiġu stabbiliti l-bażi. Per eżempju:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Aktar familjari għalina sistema numerali jużaw numri Għarab hija pożizzjonali. F'sistema bħal din l-għadd ta 'kwittanza jiddefinixxi n-numru ta' numri, per eżempju, in-numri ta 'tliet ċifri: 333, 567, eċċ Il-piż ta 'kull tal-kwittanza jiddependi fuq pożizzjoni li fiha l-figura hija waħda jew l-oħra, eż figura 8 fit-tieni pożizzjoni għandu valur ta' 80. Huwa tipiku għas-sistema deċimali, hemm sistema pożizzjonali oħra bħal binarja.

aritmetika binarja

Aħna familjari sistema deċimali, li jikkonsisti minn numri bit wieħed u multi-bit. Il-figura fuq ix-xellug fin-numru ċifra hija għaxar darbiet akbar fl-importanza ma 'dik fuq il-lemin. Allura, aħna użati biex jaqra 2, 17, 467, u l-bqija. D. Huwa differenti loġika u l-approċċ it-taqsima, li hija imsejħa "aritmetika binarja." Dan mhux sorprendenti, minħabba aritmetika binarja m'hijiex maħluqa għall-loġika tal-bniedem, u għall-kompjuter. Jekk il-aritmetika ta 'numri oriġinaw mill-għadd, li jkompli estratt minn proprjetà suġġetta għal "nudo" aritmetika, allura dan mhux se taħdem mal-kompjuter tiegħek. Biex ikunu jistgħu jaqsmu l-għarfien tagħhom mal-kompjuter, raġel kellu jivvintaw kalkolu mudell.

aritmetika binarja jaħdem mal-alfabett binarju, li jikkonsisti biss 0 u 1. U l-użu ta 'dan alfabett tissejjaħ sistema binarja.

B'differenza deċimali aritmetika binarja li l-importanza tal-pożizzjoni tal-xellug m'għadhomx 10, u 2 darbiet. numri binarju huma tal-formola 111, 1001 u l-bqija. D. Kif nistgħu nifhmu dawn in-numri? Għalhekk, aħna nikkunsidraw l-għadd 1100

1. L-ewwel ċifra fuq ix-xellug - 1 * 8 = 8, meta wieħed iżomm f'moħħu li r-raba ċifri, li jfisser li għandu jiġi mmultiplikat bi 2, irridu jiksbu l-pożizzjoni 8.
2. Tieni ċifra 1 * 4 = 4 (pożizzjoni 4).
3. It-tielet numru 0 * 2 = 0 (pożizzjoni 2).
4. Ir-raba 'ċifri 0 * 1 = 0 (pożizzjoni 1).
5. Allura Numru tagħna 1100 = 8 +4 + 0 + 0 = 12.

Dan huwa,-tranżizzjoni għal kategorija ġdida lejn ix-xellug mill-importanza tiegħu fis-sistema binarja huwa mmultiplikat bi 2 u l-deċimali - sa 10. Tali sistema għandha waħda drawback: huwa bits tkabbir kbar wisq li huma meħtieġa biex jirreġistra numri. Eżempji numri deċimali dvochinyh kif jidher fit-tabella li ġejja.

numri deċimali huma rappreżentati fil-forma binarja hawn taħt.

Huwa wkoll użat octal, u sistema ta 'numerazzjoni hexadeċimali.

Dan aritmetika misterjuża

X'inhu aritmetika, "żewġ plus żewġ" jew misteri mhux eżaminati ta 'numri? Kif tistgħu taraw, aritmetika, tista ', u jidher ewwel daqqa t'għajn sempliċi, iżda mhuwiex faċilità qarrieqa ovvja. Huwa possibbli li t-tfal jistudjaw, u flimkien ma 'zija Owl mill-cartoons "Aritmetika-trabi", u inti tista' adsa fis-riċerka xjentifika fil-fond sabiex kważi filosofiku. Fl-istorja marret minn għadd oġġetti li qima l-sbuħija ta 'numri. Ħaġa waħda hija ċerta: ma 'l-istabbiliment tal-teħtieġ ir bażiċi ta' aritmetika, kollha tax-xjenza tista 'tistrieħ fuq l-ispalla qawwija tagħha.