Transform Fourier. Fast Fourier jittrasformaw. Fourier Diskreti jittrasformaw

trasformazzjoni ta 'Fourier - trasformazzjoni, li jassoċjaw ċerta funzjoni ta' varjabbli reali. Din l-operazzjoni hija mwettqa kull darba aħna jipperċepixxu ħsejjes differenti. Widnejn tipproduċi awtomatiku "kalkolu", li jissodisfaw sensi tagħna tista 'biss wara l-eżami tat-taqsima tal-matematika ogħla. organi smigħ fi trasformazzjoni bniedem tibni, fejn il-ħoss (mozzjoni vibrational konvenzjonali ta 'partiċelli fl-mezz elastiku, li propagate fil-forma mewġa fil-medium solidu, likwidu jew gass) hija pprovduta fil-firxa ta' valuri konsekuttivi tal-livell tal-volum ta 'toni ta' għoli differenti. Wara dan, il-moħħ dawriet l-informazzjoni fis kollha l-ħoss familjari.

Matematika transform Fourier

Konverżjoni ta 'mewġ tal-ħoss jew proċessi vibrazzjoni oħrajn (bl-emissjoni tad-dawl u marea oċean u għal ċikli stellari jew solari) jistgħu jitwettqu u permezz ta' metodi matematiċi. Għalhekk, bl-użu dawn it-tekniki, il-funzjonijiet jistgħu jiġu estiżi bl-introduzzjoni ta 'proċessi vibrational sett ta' komponenti sinusojdali, jiġifieri kurvi immewġin li jmorru minn minimu sa massimu u mbagħad għal minimu, bħall-mewġa tal-baħar. trasformazzjoni ta 'Fourier - funzjoni trasformazzjoni li tiddeskrivi l-fażi jew amplitudni ta' kull sinusoid jikkorrispondi għal frekwenza partikolari. Fażi huwa bidu tal-kurva, u l-amplitudni - l-għoli tagħha.

Transform Fourier (eżempji huma murija fir-ritratt) hija għodda qawwija ħafna, li huwa użat fl-oqsma varji tax-xjenza. F'xi każijiet, huwa użat bħala soluzzjoni ekwazzjonijiet pjuttost kumplessi li jiddeskrivu l-proċessi dinamiċi li jseħħu taħt l-influwenza ta 'dawl, sħana jew l-enerġija elettrika. F'każijiet oħra, li jippermettilek li tiddefinixxi komponenti regolari f'forom ta 'mewġ kumplessi, minħabba dan jista' jkun minnu li jinterpretaw osservazzjonijiet sperimentali varji fil-kimika, il-mediċina u l-astronomija.

informazzjoni storika

L-ewwel persuna li tapplika dan il-metodu kien il-matematiku Franċiż Zhan Batist Fure. Konverżjoni, sussegwentement msemmi għal warajh, kien oriġinalment użati biex jiddeskrivu l-mekkaniżmu konduzzjoni tas-sħana. Fourier ħajtu adulta kollu involut fl-istudju l-proprjetajiet tas-sħana. Huwa ta kontribut enormi għall-teorija matematika tad-determinazzjoni ta 'l-għeruq ta' ekwazzjonijiet alġebrin. Fourier kien professur ta 'analiżi fil-Polytechnique École, is-Segretarju tal-Istitut tal Egyptology, kien is-servizz imperjali, li ikkawża ħawwad fil-mument tal-kostruzzjoni tat-triq li f'Turin (taħt it-tmexxija tiegħu kien imsaffi ta' aktar minn 80 elf kilometru kwadru ta 'swamps malarja). Madankollu, dan kollu attiviżmu ma waqfitx il-xjenzat involuti fl-analiżi matematiċi. Fl 1,802 kien derivat l-ekwazzjoni li jiddeskrivi l-propagazzjoni ta 'sħana fl solidi. Fl-1807, xjenzat skoprew metodu sabiex isolvi din l-ekwazzjoni, li sar magħruf bħala "transform Fourier".

analiżi konduttività termali

Riċerkaturi użat metodu matematiku biex jiddeskrivu l-mekkaniżmu konduzzjoni tas-sħana. Eżempju konvenjenti, li fih l-ebda diffikultà fil-kalkolu huwa l-propagazzjoni ta 'enerġija termali minn ċirku tal-ħadid, parti waħda mgħaddsa fil-nar. Biex iwettaq esperimenti Fourier parti aħmar jaħraq taċ-ċirku u midfuna lilu fir-ramel multa. Wara dan, il-kejl tat-temperatura mwettqa fuq il-parti opposta dwar dan. Inizjalment, id-distribuzzjoni tas-sħana huwa irregolari: parti mill-ċirku - kiesaħ, u l-oħra - sħun, bejn iż-żoni jista 'josserva gradjent tat-temperatura qawwija. Madankollu, matul id-distribuzzjoni tas-sħana matul il-wiċċ tal-metall, isir aktar uniformi. Allura, dalwaqt, dan il-proċess jieħu l-forma ta 'mewġa sine. Ewwel subpa jiżdied gradwalment u wkoll tnaqqis bla xkiel, preċiż il-liġijiet ta 'varjazzjoni tal-cosine jew il-funzjoni sine. Mewġa gradwalment draw u bħala riżultat it-temperatura isir uniformi fuq il-wiċċ kollu tal-ċirku.

L-awtur ta 'dan il-metodu jassumi li d-distribuzzjoni tal-bidu hija pjuttost irregolari jistgħu jiġu dekompost f'numru ta' mewġ sine elementari. Kull wieħed minnhom se jkollhom fażi tagħha (pożizzjoni inizjali) u t-temperatura massima tagħha. Għalhekk kull bidliet komponenti bħal dawn minn minimu massimu u lura biex jitlesta rivoluzzjoni madwar il-ħinijiet ċirku numru sħiħ. Komponent li jkollu perijodu li kienet tissejjaħ l-armoniku fundamentali, u l-valur b'żewġ jew aktar perjodi - it-tieni u l-bqija. Per eżempju, operazzjoni matematika li tiddeskrivi t-temperatura massima, il-fażi jew il-pożizzjoni imsejjaħ il-transform Fourier tal-funzjoni tad-distribuzzjoni. Xjentist ressqet komponent singolu li huwa diffiċli li deskrizzjoni matematiċi, għall-għodod faċli għall-użu - ringieli ta 'sine u cosine, fl-ammont li jagħti d-distribuzzjoni inizjali.

L-essenza tal-analiżi

Applikazzjoni ta 'dan l-analiżi għall-konverżjoni ta' distribuzzjoni tas-sħana fuq l-oġġett solidu, li jkollu forma annulari, matematiku motivata li l-perijodi jiżdiedu ta 'komponenti sinusojdali jwasslu għal damping rapida tagħha. Dan jidher b'mod ċar fuq il-armoniċi prinċipali u t-tieni. It-temperatura finali jilħaq doppju tal-valuri massimi u minimi pass wieħed, u fl-ewwel - darba biss. Jirriżulta li d-distanza vjaġġata mill-sħana fit-tieni armonika hija nofs dik tal-qalba. Barra minn hekk, il-gradjent tat-tieni nofs se jkun ukoll aktar wieqfa mill-ewwel. Għalhekk, peress li thermal flux aktar intensa jgħaddi armla distanza minima, allura dan se jkun imtaffi armonika erba 'darbiet aktar mgħaġġla mill-prinċipali, bħala funzjoni tal-ħin. Fil--proċess li ġejjin se jkun saħansitra aktar mgħaġġel. Matematiku maħsub li dan il-metodu jippermetti li jiġi kkalkulat il-proċess tad-distribuzzjoni inizjali ta 'temperatura mal-ħin.

kontemporanji sejħa

Transform Fourier algoritmu sar sfida għall-fondazzjonijiet teoretiċi tal-matematika fil-ħin. Fis-seklu dsatax, ħafna xjentisti prominenti, inklużi Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre u Biot m'aċċettax affermazzjoni tiegħu li t-temperatura tad-distribuzzjoni inizjali analizzati f'komponenti fil-forma tal-mewġa fundamentali u l-frekwenza ogħla. Madankollu, l-Akkademja tax-Xjenzi ma setgħetx tinjora r-riżultati miksuba matematiku, u mogħtija lilu l-Premju għall-teorija ta 'konduzzjoni tas-sħana tal-liġijiet, kif ukoll twettiq paragun tiegħu ma' esperimenti fiżiċi. Fl-avviċinament Fourier, l-oġġezzjoni prinċipali huwa l-fatt li l-funzjoni mhux kontinwu huwa rappreżentat minn somma ta 'diversi funzjonijiet sinusojdali, li huma kontinwi. Wara kollox, dawn jiddeskrivu l-linji fqigħ dritti u mgħawġa. xjentist kontemporanja qatt ma ltaqgħu magħhom tali sitwazzjoni, meta l-funzjonijiet kontinwi deskritti permezz ta 'kombinazzjoni ta' kontinwa, bħal kwadratiċi, lineari, sine jew esibitur. Fil-każ li matematiku kellha raġun meta affermazzjonijiet tiegħu, is-somma ta 'serje infinita ta' funzjonijiet trigonometric għandu jkun limitat għall-veloċità eżatt. Filwaqt li tali talba deher assurda. Madankollu, minkejja d-dubji ta 'xi riċerkaturi (eż Claude Navier, Sofi Zhermen) wessa' l-ambitu tar-riċerka u ġabhom mill-analiżi ta 'distribuzzjoni tas-sħana. A matematika, sadanittant, kompliet issofri l-kwistjoni ta 'jekk is-somma ta' diversi funzjonijiet sinusojdali huwa mnaqqas għal rappreżentazzjoni eżatta ta 'fqigħ.

istorja 200-sena

Din it-teorija evolviet matul żewġ sekli, illum huwa finalment iffurmat. Bl-għajnuna tal-funzjonijiet spazjali jew temporali huma mqassma f'komponenti sinusojdali li jkollhom frekwenza, fażi u amplitudini. Din il-konverżjoni huwa miksub minn żewġ metodi matematiċi differenti. L-ewwel wieħed minnhom huwa użat fil-każ meta l-sors huwa funzjoni kontinwa, u t-tieni - fil-każ fejn huwa rappreżentat minn pluralità ta 'bidliet individwali diskreti. Jekk l-espressjoni jinkiseb minn valuri, li huma definiti f'intervalli diskreti, jista 'jiġi maqsum f'diversi diskreti espressjonijiet frekwenzi sinusojdali - mill-inqas u mbagħad irdoppja, ttriplikat, u oħrajn fuq mill-fundamentali. Dan l-ammont huwa msejjaħ il-serje ta 'Fourier. Jekk l-espressjoni inizjali jistabbilixxi l-valur ta 'kull numru reali, jista' jinqasmu sinusojdali frekwenzi multipli kollha possibbli. Huwa sejjaħ Fourier integrali, u d-deċiżjoni timplika trasformazzjoni tal-funzjoni integrali. Irrispettivament mill-metodu kif tinkiseb trasformazzjoni, għal kull frekwenza għandu jindika żewġ numri: amplitudni u l-frekwenza. Dawn il-valuri huma espressi bħala wieħed numru kumpless. Espressjoni varjabbli komplessi teorija flimkien ma 'trasformazzjoni ta' Fourier li jwettaq kalkoli permess id-disinn ta 'ċirkwiti elettriċi varji, l-analiżi ta' vibrazzjonijiet mekkaniċi, l-istudju ta 'mekkaniżmu mewġa propagazzjoni u ieħor.

Transform Fourier illum

Illum il-ġurnata, l-istudju ta 'dan il-proċess bażikament jeħodna għall-konstatazzjoni metodi effettivi għat-tranżizzjoni mill-funzjoni li jikkonvertu lura lill-moħħ. Din is-soluzzjoni hija msejħa l Fourier dirett u inverse jittrasformaw. Xi jfisser? Sabiex tiddetermina l-integrali u tagħmel Fourier dirett jittrasforma, inti tista 'tuża metodi matematiċi, imma int tista analitiċi. Minkejja l-fatt li meta dawn jintużaw fil-prattika hemm xi diffikultajiet, l-aktar integrali diġà ġew misjuba u mdaħħla fil manwali matematiċi. Bl espressjonijiet-għajnuna ta 'metodi numeriċi jistgħu jiġu kkalkulati, il-forma tagħhom hija bbażata fuq id-data sperimentali, funzjoni li integrali fit-tabelli huma neqsin, u dawn huma diffiċli li wieħed jimmaġina f'forma analitika.

Qabel il-miġja ta 'kalkoli ta' inġinerija tal-kompjuter bħal dawn trasformazzjonijiet kienu ħafna tedious, huma jeħtieġu eżekuzzjoni manwali ta 'għadd kbir ta' operazzjonijiet aritmetika li jiddependu fuq in-numru ta 'punti li jiddeskrivu l-funzjoni mewġa. Biex jiffaċilita r-risoluzzjoni tal-lum, hemm programmi speċjali, jitħallew jimplimentaw ġodda metodi analitiċi. Allura, fl-1965, Dzheyms Kuli u Dzhon Tyuki maħluqa softwer li sar magħruf bħala "Fast Fourier Transform". Huwa jiffranka l-ħin tal-kalkolu billi jitnaqqas l-għadd ta 'moltiplikazzjonijiet fl-analiżi tal-kurva. "Fast Fourier Transform" Il-metodu huwa bbażat fuq diviżjoni il-kurva f'numru kbir ta 'valuri kampjun uniformi. Għaldaqstant, in-numru ta 'moltiplikazzjonijiet huwa mnaqqas bin-nofs fl-istess tnaqqis tan-numru ta' punti.

Applikazzjoni tal-transform Fourier

Dan il-proċess huwa użat fl-oqsma varji: Fit -teorija tan-numri, il-fiżika, l-ipproċessar tas-sinjal, combinatorics, tat-teorija probabbiltà, kriptografija, l-istatistika, oċeanografija, l-ottiki, akustika, u ġeometriji oħra. possibbiltajiet rikk għall-użu tiegħu huma bbażati fuq numru ta 'karatteristiċi utli, li jissejħu "proprjetajiet tat-trasformazzjoni ta' Fourier." Let us teżamina minnhom.

1. Il-funzjoni ta 'konverżjoni huwa operatur lineari u normalizzazzjoni korrispondenti hija unitarju. Din il-proprjetà hija magħrufa bħala l-teorema Parseval, jew fil-każ ġenerali, il-teorema Plansherelja jew Pontrjagin dwaliżmu.

2. Il-konverżjoni hija riversibbli. Barra minn hekk, ir-riżultat oppost huwa forma sostanzjalment simili bħal fil-dirett indirizzar.

3. L-espressjonijiet bażiċi sinusojdali huma funzjonijiet differenti tagħhom stess. Dan ifisser li tali rappreżentazzjoni bidliet ekwazzjonijiet linjari ma 'koeffiċjenti kostanti fil-alġebrin konvenzjonali.

4. Skond l- "konvoluzzjoni" teorema, il-proċess jagħmel operazzjoni kumplessa fil-multiplikazzjoni elementari.

5. diskreti Fourier Transform tista 'tiġi disinjata malajr fuq kompjuter permezz tal- "mgħaġġel" metodu.

Varjazzjonijiet tal-transform Fourier

1. Ħafna drabi t-terminu huwa użat biex jirreferi għal trasformazzjoni kontinwa, li jipprovdi kwalunkwe espressjoni quadratically integrable bħala s-somma ta 'espressjoni esponenzjali kumpless bi frekwenzi angolari speċifiċi u l-amplitudnijiet. Din l-ispeċi għandha diversi forom differenti, li jistgħu jkunu koeffiċjenti kostanti differenti. Il-metodu kontinwu tinkludi tabella ta 'konverżjoni, li jistgħu jinstabu fil-manwali matematiċi. Każ ġeneralizzata huwa l-konverżjoni frazzjonali, fejn dan il-proċess jista 'jiżdied għal-qawwa reali mixtieqa.

2. Il-metodu kontinwu hija ġeneralizzazzjoni ta 'teknika aktar kmieni ta' serje Fourier definiti għal kull funzjoni perjodiċi jew espressjonijiet, li jeżistu f'żona limitata u jirrappreŜentawhom bħala serje ta 'sinusoids.

3. diskreti transform Fourier. Dan il-metodu huwa użat fil-kalkolu għall-komputazzjoni xjentifika u l-ipproċessar tas-sinjal diġitali. Biex iwettqu dan it-tip ta 'kalkolu huwa meħtieġ li jkollu funzjoni li jiddetermina fuq sett diskret ta' punti individwali, reġjun perjodiku jew limitata minflok integrali Fourier kontinwi. konverżjoni tas-sinjal f'dan il-każ huwa rappreżentat bħala somma ta sinusoids. L-użu ta 'metodu "mgħaġġel" jippermetti l-użu ta' soluzzjonijiet diġitali għall-għanijiet prattiċi kollha.

4. It-tieqa transform Fourier hija fehma ġeneralizzata tal-metodu klassiku. B'differenza soluzzjonijiet standard meta l-ispettru sinjal huwa użat, li jittieħed fil-firxa sħiħa ta 'eżistenza ta' din il-varjabbli ta 'interess partikolari hawnhekk huwa biss id-distribuzzjoni frekwenza lokali filwaqt li jinżamm il-varjabbli oriġinali (ħin).

5. Il Fourier żewġ dimensjonijiet jittrasformaw. Dan il-metodu huwa użat biex jaħdmu ma 'arrays żewġ dimensjonijiet ta' data. F'każ bħal dan, il-konverżjoni hija mwettqa f'direzzjoni waħda, u mbagħad - fl-ieħor.

konklużjoni

Illum, il-metodu Fourier huwa sod għeruq fl-oqsma varji tax-xjenza. Per eżempju, fl-1962 fetħet il-forma tal-spirali doppja tad-DNA permezz ta 'analiżi Fourier flimkien mal-X-ray diffrazzjoni. kristalli riċenti iffukat fuq fibri tad-DNA, li jwassal għal immaġini li jinkiseb permezz diffrazzjoni, irreġistrat fuq il-film. Din l-istampa ta informazzjoni dwar il-valur tal-amplitudni billi tuża l-transform Fourier għal din l-istruttura tal-kristall. data fażi miksuba billi jitqabblu l-karti diffrazzjoni tad-DNA bil-kards li huma miksuba fl-analiżi tal-istrutturi kimiċi simili. Bħala riżultat, bijoloġisti restawrata istruttura kristallina - il-funzjoni oriġinali.

Transform Fourier għandhom rwol kbir fl-istudju tal-ispazju extratmosferiku, il-fiżika ta 'materjali semikondutturi u l-plażma, akustika microwave, oċeanografija, radar, seismology u eżamijiet mediċi.