Regola Cramer u l-applikazzjoni tagħha

regola Cramer - huwa wieħed mill-metodi eżatti sabiex isolvi sistemi ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari (Slough). eżattezza tagħha minħabba l-użu tal-fatturi determinanti tas-matriċi sistema, kif ukoll ftit mir-restrizzjonijiet imposti fil-prova ta 'l-teorema.

Sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari bil-koeffiċjenti li jappartjenu għal, per eżempju, pluralità ta' R - numri reali ta 'mhux magħrufa x1, x2, ..., xn hija ġabra ta' espressjonijiet

AI2 x1 + AI2 x2 + ... Ain x n = BI ma i = 1, 2, ..., m, (1)

fejn aij, bi - numri reali. Kull wieħed minn dawn l-espressjonijiet tissejjaħ l-ekwazzjoni lineari, aij - koeffiċjenti ta 'l-mhux magħrufa, bi - koeffiċjenti indipendenti ta' ekwazzjonijiet.

Soluzzjoni ta '(1) imsemmi n dimensjonali vettur x ° = (x1 °, x2 °, ..., x n °), li fiha sostituzzjoni fis-sistema għall-x1 mhux magħrufa, x2, ..., xn, kull wieħed mill-linji fis-sistema ssir ekwazzjoni aħjar .

Is-sistema hija msejħa konsistenti jekk ikun soluzzjoni mill-inqas wieħed, u inkonsistenti, jekk jikkoinċidi bis-soluzzjoni sett tas-sett vojta.

Għandu jiġi mfakkar li sabiex jinstabu soluzzjonijiet għal sistemi ta 'ekwazzjonijiet linjari bl-użu tal-metodu ta' Cramer sistemi matriċi għandhom ikunu kwadri, li bażikament ifisser l-istess numru ta 'mhux magħrufa u l-ekwazzjonijiet fis-sistema.

Allura, biex jużaw il-metodu Cramer, inti trid mill-inqas tkun taf x'inhi l-Matriċi huwa sistema ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari, u hija maħruġa. U t-tieni, biex jifhem dak li jissejjaħ l-element determinanti tal-matriċi u l-ħiliet tagħha stess ta 'komputazzjoni.

Ejja nassumu li dan l-għarfien tippossjedi. Wonderful! Imbagħad inti għandek biss memorize formuli li jiddeterminaw il-metodu Kramer. Biex tissimplifika memorization tuża l-notazzjoni li ġejja:

• Det - d-determinant ewlieni tal-matriċi tas-sistema;

• deti - huwa l-fattur determinanti tal-matriċi miksuba mill-matriċi primarju tas-sistema billi tissostitwixxi kolonna i-th tal-matriċi għal vettur kolonna elementi tagħhom huma l-ġnub dritt ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari;

• n - in-numru ta 'mhux magħrufa u l-ekwazzjonijiet fis-sistema.

Imbagħad komputazzjoni regola Cramer xi komponent th (i = 1, .. n) n-dimensjonali vettur x tista 'tinkiteb kif

xi = deti / Det, (2).

F'dan il-każ, Det strettament differenti minn żero.

L-uniċità tas-soluzzjoni tas-sistema meta dan jiġi pprovdut b'mod konġunt mill-kundizzjoni inugwaljanza tal-determinant ewlieni tas-sistema għal żero. Inkella, jekk is-somma ta '(xi), kwadrat, strettament pożittiva, imbagħad SLAE matriċi kwadru hiex inattwabbli. Dan jista 'jseħħ b'mod partikolari meta għall-inqas wieħed mill nonzero deti.

Eżempju 1. Biex issolvi s-sistema LAU tridimensjonali jużaw formula Cramer.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 + x2 x1 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Deċiżjoni. Aħna ikteb l-matriċi tal-linja sistema billi linja, fejn Ai - huwa l-ringiela i-th tal-matriċi.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolonna koeffiċjenti ħielsa b = (31 Ottubru 29).

Is-sistema prinċipali huwa l-Det determinanti
Det = A11 A22 A33 + A12 A23 A31 + A31 A21 A32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1-20 + 12-12 + 2-10 = -27.

Biex jiġi kkalkulat il-permutation det1 jużaw A11 = b1, A21 = b2, A31 = b3. imbagħad
det1 = b1 A22 A33 + A12 A23 b3 + A31 b2 A32 - A13 A22 b3 - b1 A32 A23 - A33 b2 A12 = ... = -81.

Bl-istess mod, biex tiġi kkalkulata det2 użu sostituzzjoni A12 = b1, A22 = b2, A32 = b3, u, għaldaqstant, għall-kalkolu det3 - A13 = b1, A23 = b2, A33 = b3.
Imbagħad tista 'tiċċekkja li det2 = -108, u det3 = - 135.
Skont il-formuli Cramer isibu x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Tweġiba: x ° = (3,4,5).

Filwaqt li bbażat ruħha fuq l-applikabbiltà ta 'din ir-regola, il-metodu ta' Kramer sistemi ta 'ekwazzjonijiet linjari soluzzjoni ta jistgħu jintużaw b'mod indirett, per eżempju, biex tinvestiga s-sistema fuq in-numru possibbli ta' soluzzjonijiet li jiddependu fuq il-valur ta 'parametru k.

Eżempju 2. Sabiex jistabbilixxu f'liema valuri tal-inugwaljanza k parametru | KX - y - 4 | + | x + ky +4 | <= 0 għandha eżattament soluzzjoni waħda.

Deċiżjoni.
Din l-inugwaljanza, mid-definizzjoni tal-funzjoni modulu jista 'jsir biss jekk iż-żewġ espressjonijiet huma żero fl-istess ħin. Għalhekk, din il-problema hija mnaqqsa għal tinstab is-soluzzjoni ta 'ekwazzjonijiet alġebrin lineari

KX - y = 4,
x + ky = -4.

Is-soluzzjoni għal din is-sistema biss jekk huwa l-determinant ewlieni tal-
Det = k ^ {2} +1 huwa nonzero. Huwa ċar li din il-kundizzjoni hija sodisfatta għall-valuri reali tal-parametru k.

Tweġiba: għall-valuri reali tal-parametru k.

L-għanijiet ta 'dan it-tip jistgħu jitnaqqsu wkoll problemi prattiċi ħafna fil-qasam tal -matematika, il-fiżika jew kimika.