-Pendlu: perjodu u l-aċċelerazzjoni tal-formula

Is-sistema mekkanika li jikkonsisti minn perspettiva materjali (il-ġisem), li prekarja fuq filament jkunx jitwessa 'wisq weightless (toqol tiegħu huwiex negliġibbli meta mqabbla mal-piż tal-ġisem) fil-qasam gravitazzjonali uniformi, imsejjaħ il-pendlu matematika (isem ieħor - l-oxxillatur). Hemm tipi oħra ta 'apparat. Minflok ta 'virga weightless filament ma tista' tintuża. Pendlu jistgħu jiżvelaw b'mod ċar l-essenza ta 'fenomeni interessanti ħafna. Meta vibrazzjonijiet amplitudni żgħar ta 'mozzjoni tissejjaħ armoniku.

Informazzjoni ġenerali dwar is-sistema mekkanika

Il-formula tal-perjodu oxxillazzjoni tal-pendlu ġiet imkabbra Huygens xjentist Olandiż (1629-1695 gg.). Dan kontemporanja ta 'Isaac Newton kien ħafna fond tas-sistema mekkanika. Fl 1,656 hu ħoloq l-ewwel għassa ma 'mekkaniżmu pendlu. Huma mkejla l-ħin bi preċiżjoni estremi għall dawk il-ħinijiet. Din l-invenzjoni kien pass ewlieni fl-iżvilupp ta 'esperimenti fiżiċi u attivitajiet prattiċi.

Jekk il-pendlu huwa f'pożizzjoni ekwilibriju (jiddendlu vertikalment), il- forza tal-gravità ser jiġi bbilanċjat mill-forza tensjoni ħajt. pendlu fissa fuq ħjut mhux stretchable hija sistema b'żewġ gradi ta 'libertà ta' komunikazzjoni. Meta jbiddel biss komponent wieħed ta 'tibdil l-karatteristiċi tal-partijiet kollha tagħha. Per eżempju, jekk ħajt huwa sostitwit b'dan virga, allura din is-sistema mekkanika huwa biss 1 grad ta 'libertà. X'inhuma, mela, il-proprjetajiet ta 'pendlu matematiċi? F'din is-sistema sempliċi, taħt l-influwenza ta 'perturbazzjoni perjodika, kaos jidher. F'dak il-każ, meta l-punt sospensjoni ma tkunx mixja, u joxxilla pendlu hemm pożizzjoni ġdida ekwilibriju. Jekk varjazzjonijiet rapidi u 'l isfel din is-sistema mekkanika isir pożizzjoni stabbli "rasu' l isfel." Hija għandha wkoll l-isem tagħha. Huwa sejjaħ l-pendlu Kapitza.

-Proprjetajiet tal-pendlu

Pendlu għandu proprjetajiet interessanti ħafna. Kollha kemm huma appoġġjati minn liġijiet fiżiċi magħrufa. Il-perjodu ta 'oxxillazzjoni tal-pendlu kwalunkwe ieħor tiddependi fuq diversi ċirkustanzi bħad-daqs u forma tal-ġisem, id-distanza bejn il-punt ta' sospensjoni u ċ-ċentru tal-gravità, distribuzzjoni tal-piż fir-rigward dan il-punt. Dan huwa għaliex id-definizzjoni tal-perjodu mdendlin korp huwa pjuttost sfida. Huwa ħafna aktar faċli biex jiġi kkalkulat il-perjodu ta 'pendlu sempliċi, il-formula tagħha huwa mogħti hawn taħt. Bħala riżultat ta 'osservazzjoni dawn it-tendenzi jistgħu jiġu stabbiliti fuq sistemi mekkaniċi simili:

• Jekk, filwaqt li jinżamm l-istess tul tal-pendlu, sospiżi minn varjetà ta 'tagħbijiet, il-perjodu ta' l-oxxillazzjoni jiksbu l-istess, għalkemm piż tagħhom se jvarjaw bil-kbir. Konsegwentement, il-perjodu tal-pendlu ma tiddependix fuq il-piż tat-tagħbija.

• Jekk is-sistema tibda tonqos fl-pendlu mhuwiex kbir wisq, iżda angoli differenti, se jvarjaw bl-istess perjodu, iżda fl amplitudnijiet differenti. Filwaqt devjazzjonijiet mill-ċentru ta 'bilanċ ma jkunx varjazzjonijiet kbar wisq fil-forma tagħhom se jkun qrib biżżejjed armoniku. Il-perjodu ta 'tali pendlu ma tiddependix fuq l-amplitudni vibrational. Din il-proprjetà tas-sistema mekkanika hija msejħa isochronism (fil Grieg "Chronos" - ħin "Izosov" - ugwali).

Il-perjodu ta 'pendlu sempliċi

Din il-figura tirrappreżenta l-perjodu naturali ta 'oxxillazzjoni. Minkejja l-formulazzjoni kumplessa, il-proċess innifsu huwa sempliċi ħafna. Jekk it-tul tal-ħajt matematiċi pendlu L, u l-gravitazzjonali aċċelerazzjoni g, dan il-valur ikun daqs:

T = 2π√L / g

perjodu żgħir ta 'oxxillazzjonijiet naturali bl-ebda mod ma tiddependix fuq il-massa tal-pendlu u l-amplitudni oxxillazzjoni. F'dan il-każ, bħala pendlu matematika jiċċaqlaq ma 'tul mnaqqsa.

Oxxillazzjonijiet ta 'pendlu matematiċi

pendlu matematiċi joxxilla, li jistgħu jiġu deskritti permezz ta 'ekwazzjoni differenzjali sempliċi:

x + ω2 dnub x = 0,

fejn x (t) - funzjoni mhux magħrufa (dan l-angolu tal-liwja mill-pożizzjoni t'isfel ta 'ekwilibriju fil-ħin t, espressa f'radians); ω - kostanti pożittiv li huwa determinat mill-parametri tal-pendlu (ω = √g / L, fejn g - l-aċċelerazzjoni tal-gravità, u L - it-tul ta 'pendlu sempliċi (sospensjoni).

Ekwazzjoni oxxillazzjonijiet żgħar ħdejn pożizzjoni ta 'ekwilibriju (ekwazzjoni armoniku) kif ġej:

x + ω2 dnub x = 0

mozzjoni tal-pendlu oscillatory

Pendlu, li jagħmel oxxillazzjonijiet żgħar, li jiċċaqalqu sinusoid. It-tieni ekwazzjoni differenzjali ordni tissodisfa r-rekwiżiti kollha u l-parametri ta 'tali moviment. Biex tiddetermina l-passaġġ għandek bżonn biex jistabilixxu l-veloċità u koordinati, li aktar tard determinati kostanti indipendenti:

x = A dnub (θ ₀ + ωt),

fejn θ ₀ - fażi inizjali, A - amplitudni tal-oxxillazzjoni, ω - frekwenza ċikliku determinata mill-ekwazzjonijiet tal-mozzjoni.

Pendlu (formula għall amplitudnijiet kbar)

Din is-sistema mekkanika, iwettqu oxxillazzjonijiet tagħhom bil-amplitudni kbar, huwa suġġett għal liġijiet tat-traffiku aktar kumplessi. huma kkalkulati skond il-formula għal tali pendlu:

dnub x / 2 = U * sn (ωt / u),

fejn sn - sine Jacobi, li għal u <1 hija funzjoni perjodika, u għal u żgħar jikkoinċidi mal-sine trigonometric sempliċi. Il-valur ta 'u huwa determinat mill-espressjoni li ġejja:

U = (ε + ω2) / 2ω2,

fejn ε = E / ML2 (ML2 - l-enerġija tal-pendlu).

Determinazzjoni tal-perjodu oxxillazzjoni linjari tal-pendlu bil-formula segwenti:

T = 2π / Ω,

fejn Ω = π / 2 * ω / 2K (u), K - ellittika integrali, π - 3,14.

il-moviment pendlu tal-separatrix

Huwa appella trajettorja separatrix tas-sistema dinamika, li fiha spazju fażi żewġ dimensjonijiet. Pendlu jiċċaqlaq fuq bażi non-perjodikament. Fil-punt infinitament ħafna ta 'żmien li qtar mill-pożizzjoni ta' fuq estrema lejn veloċità żero, u mbagħad gradwalment jikseb. Huwa eventwalment waqaf, jirritornaw għall-pożizzjoni oriġinali tagħha.

Jekk l-amplitudni tal-oxxillazzjoni tal-pendlu approċċi-numru pi, huwa qal li l-mozzjoni fil-pjan fażi huwa qrib il-separatrix. F'dan il-każ, taħt l-azzjoni ta 'forza żgħira sewqan perjodiku tas-sistema mekkanika esebiti imġieba kaotika.

Fil-każ ta 'pendlu sempliċi mill-pożizzjoni ta' ekwilibriju ma 'cp angolu iseħħ seħħ tanġenzjali Fτ = gravità dnub -mg φ. "Minus" sinjal ifisser li l-komponent tanġenzjali diretti fid-direzzjoni opposta mid-direzzjoni ta 'devjazzjoni tal-pendlu. Meta ssir referenza permezz ta 'spostament pendlu x tul ark ċirkulari b'raġġ L huwa ugwali għal φ ispostament angolari tagħha = x / L. It-tieni liġi Isaaka Nyutona, maħsuba għall projezzjoni tal-vettur aċċelerazzjoni u l-qawwa jagħtu l-valur mixtieq:

mg τ = Fτ = -mg dnub x / L

Ibbażat fuq dan il-proporzjon, huwa ċar li l-pendlu hija sistema linjari, bħala forza li għandha tendenza li jirritornaw għall pożizzjoni ta 'ekwilibriju tagħha, mhux dejjem proporzjonali għall-x spostament, sin x / L.

Biss meta l-pendlu matematika jwettaq vibrazzjonijiet żgħar, huwa oxxillatur armoniku. Fi kliem ieħor, din issir sistema mekkanika kapaċi jwettaq oxxillazzjonijiet armoniku. Din l-approssimazzjoni hi valida għal kważi angoli 15-20 °. Pendlu mal amplitudnijiet kbar mhix armonjuż.

Newton liġi għal oxxillazzjonijiet żgħar ta 'pendlu

Jekk is-sistema mekkanika jwettaq oxxillazzjonijiet żgħar, il-liġi 2nd Newton se teżamina bħal dan:

mg τ = Fτ = -m * g / l * x.

Fuq din il-bażi, nistgħu nikkonkludu li l-aċċelerazzjoni tanġenzjali ta 'pendlu sempliċi hija proporzjonali għall-ispostament tagħha mas-sinjal "minus". Din hija kundizzjoni li biha s-sistema ssir oxxillatur armoniku. fattur ta 'proporzjonalità Modulu bejn l-ispostament u l-aċċelerazzjoni hija daqs l-kwadru tal-frekwenza angolari:

ω02 = g / L; ω0 = √ g / L.

Din il-formula jirrifletti l-frekwenza naturali tal oxxillazzjonijiet żgħar ta 'dan it-tip ta' pendlu. Fuq din il-bażi,

T = 2π / ω0 = 2π√ g / L.

Kalkoli bbażati fuq il-liġi tal-konservazzjoni ta 'enerġija

Proprjetajiet joxxilla movimenti pendlu jistgħu jiġu deskritti bl-għajnuna tal-liġi ta 'konservazzjoni ta' enerġija. Wieħed għandu jżomm f'moħħu li l-enerġija potenzjali tal -pendlu fil-qasam gravitazzjonali hija:

E = mgΔh = MGL (1 - cos α) = mgL2sin2 α / 2

Full enerġija mekkanika huwa daqs il-potenzjal kinetika u massimu: Epmax = Ekmsx = E

Wara li tkun bil-miktub l-liġi ta 'konservazzjoni ta' enerġija, filwaqt li l-derivattiv tal-ġnub tax-xellug u tal-lemin tal-ekwazzjoni:

Ep + Ek = const

Peress li l-derivattiv tal-kostanti hija ugwali għal 0, allura (Ep + Ek) "= 0. Ir-derivattiv tas-somma daqs is-somma ta 'l-derivattivi:

Ep "= (mg / L * x2 / 2)" = mg / 2L * 2x * x "= mg / L * vs + Ek" = (mv2 / 2) = m / 2 (v2) "= m / 2 * 2v * vs "= mv * α,

għalhekk:

Mg / l * xv + MVA = vs (mg / L * x + m α) = 0.

Ibbażat fuq l-aħħar formula, insibu: α = - g / l * x.

applikazzjoni prattika tal-pendlu matematiċi

Aċċelerazzjoni tal-waqgħa ħielsa tvarja skond latitudni minħabba d-densità tal-qoxra madwar il-pjaneta mhux identiċi. Fejn blat jseħħu b'densità ogħla, se jkun kemmxejn ogħla. Aċċelerazzjoni tal pendlu matematiċi spiss jintuża għall-esplorazzjoni. Fil għajnuna ħarsa tagħha għall-minerali differenti. Sempliċiment għadd tan-numru ta oxxillazzjonijiet ta 'pendlu, huwa possibbli li tkun osservata l-faħam jew mineral fl-imsaren tal-pjaneta. Dan huwa dovut għall-fatt li dawn ir-riżorsi għandhom densità u l-piż ta 'aktar minn tinsab taħt il-blat laxka.

pendlu matematika li ntużat minn dawn skulari prominenti Socrates, Aristotli, Plato, Plutarch, densimetrija. Ħafna minnhom jemmnu li s-sistema mekkanika jistgħu jinfluwenzaw id-destin u l-ħajja. Densimetrija użat il-pendlu matematika bil-kalkoli tiegħu. Illum il-ġurnata, ħafna occultists u psychics jużaw din is-sistema mekkanika għall-implimentazzjoni tal profeziji tiegħu, jew it-tfittxija għal nieqsa nies.

Il astronomu Franċiż famuż u xjenzat, Flammarion għar-riċerka tagħhom tintuża wkoll pendlu matematiċi. Huwa sostna li bl-għajnuna tiegħu huwa kien kapaċi li jbassru l-iskoperta ta 'pjaneta ġdid, it-tfaċċar ta' l-meteorite Tunguska, u avvenimenti oħra importanti. Matul it-Tieni Gwerra Dinjija fil-Ġermanja (Berlin) ħadem bħala istituzzjoni speċjalizzata tal-pendlu. Illum il-ġurnata, tali riċerka ma tkunx disponibbli Munich Istitut ta 'Parapsychology. Ix-xogħol tiegħu mal-pendlu-persunal ta 'din l-istituzzjoni imsejħa "radiesteziey".